有幾種類型的超導量子位元電路，而本文將專門介紹一種特定的設計：transmon 量子位元電路。
執行摘要
量子位元 (qubit) 是用於量子運算世界中的基本資訊單位。不同於古典運算中具有 0 和 1 兩個截然不同狀態的位元，量子位元可以同時存在於兩種狀態的線性組合中（疊加，superposition），並且能以某種方式連結，使得一個狀態會瞬間影響另一個狀態（糾纏，entanglement）。由於量子位元的這兩個關鍵特性，電腦的處理能力可以呈指數級增加。量子位元的物理實現可以使用光子、捕獲離子 (trapped ions)（利用電磁場固定在原位的單一帶電原子）或超導電路。後者是最成熟且最廣泛使用的技術，因為它可以建立在現有的半導體製造技術之上。
Transmon 量子位元電路
在單一量子位元系統中，transmon 量子位元電路的積體電路通常由四個組件組成：
- 饋線 (Feedline)
- 共振器 (Resonator)
- 具有一個約瑟夫森接面 (Josephson Junction, JJ) 的 transmon 量子位元
- 電流偏置線 (Current bias line)
在這個案例中，transmon 量子位元由一個約瑟夫森接面 (JJ) 組成。它位於 transmon 量子位元的中心，並與兩個金屬墊片 (metal pads) 連接。約瑟夫森接面是超導量子位元的關鍵部分。約瑟夫森接面結構由兩個被薄絕緣層 (insulation barrier) 隔開的超導體所組成。超導體通常由鋁 (Al) 製成，並在低於 1.2 K 時變成超導狀態。雖然普通的電感器具有恆定的電感值，但 JJ 是非線性的。其數值會隨著我們加入能量而增加或減少。共振器與饋線由共平面導波管 (CPW) 結構製成，具有非典型的 50 歐姆特性阻抗。共振器與饋線用於測量量子位元的狀態。約瑟夫森接面電感的變化，可透過電流偏置線產生微小的磁場來測量。
超導量子位元晶片組裝
transmon 量子位元電路被整合到單一個晶片中，然後與印刷電路板 (PCB) 連接，以允許進行測量或量子位元操作。圖 2 顯示了典型超導量子位元晶片組裝的簡化圖。量子位元晶片安裝在 PCB 中心的一個凹槽腔體 (C) 內。為了實現量子位元操作與讀出，打線接合 (wire bond) 將晶片連接到 PCB 走線 (B)，並將微波訊號繞線至邊緣安裝的 SMA 接頭 (A)。透過這些 SMA 接頭，高頻訊號被傳輸至測量設備或從測量設備傳輸出來。PCB 尺寸在毫米範圍內，而量子位元晶片則在次毫米範圍內。整個組件在稀釋冷凍機 (dilution refrigerator) 中被冷卻到接近絕對零度，約為數十 mK。在這個溫度下，由鋁或鈮等超導體製成的電子電路能毫無電阻地流動，使它們表現得像作為量子位元的人造原子。
超導材料定義
在 3D 電磁模擬中，超導材料可以透過兩種方式定義。最簡單的方法是定義一種無損耗 (loss-free) 材料，例如 PEC（完美電導體）或無損耗的一般材料，例如基板。這種方法足以獲得設計共振頻率。然而，為了精確計算品質因子 (Q-factor)，不建議使用無損耗材料定義，因為它會產生過高的品質因子。因此，使用有損耗材料可產生更準確的品質因子值，但需要稍微多一點的運算資源。在 CST Studio Suite 中，超導材料屬性是使用表面阻抗建模 (surface impedance modeling) 來定義的。這種方法是有效的，因為超導體的厚度通常是幾微米。超導材料的定義可以在以下路徑找到：VBA 巨集 (macros) -> 材料 (materials) -> 列表式表面阻抗 (寬頻) (Tabulated surface impedance (broadband))，如圖 3 所示。
需定義室溫下的電導率、超導工作溫度、倫敦穿透深度 (London penetration depth) 和臨界溫度等材料屬性，以計算表面阻抗 Z。對於基板材料，介電常數 (Epsr) = 11.9 的矽被定義為具有非常低損耗，TanD = 1e-6。關於 CST 中超導材料定義的更多詳細資訊，可在文獻 [4] 中找到。
設計參數
大多數的量子測量硬體針對 4 GHz 到 8 GHz 之間的頻率進行了最佳化。因此，transmon 量子位元頻率為 5 GHz。為了避免對量子位元產生干擾，共振器頻率設定為 7 GHz。根據文獻 [1]，為了擁有表現良好的 transmon 量子位元，需要滿足額外的限制條件，例如：
|α| > 200 MHz (1) E_j/E_c > 50 (2)
α 是非諧性 (anharmonicity)，較大的非諧性有助於將 |0⟩ 和 |1⟩ 與更高的能階隔離；而 E_j/E_c 的比值需要夠大，以使其對電荷雜訊 (charge noise) 不敏感。約瑟夫森接面能量 (Ej) 和充電能量 (Ec) 都可以用 MHz 表示如下：
Ec = e^2/(2∙C∙h)∙10^(-6) (3) Ej = 〖Φ_0〗^2/((2π)^2∙L_j∙h)∙10^(-6) (4)
其中 e = 1.602∙10^(-19) 庫侖，Φ_0 是超導磁通量子 (~ 2.067∙10^(-15) Wb)，h 是普朗克常數 (~ 6.626∙10^(-34) Js)。由於我們需要滿足方程式 (2)，非諧性和充電能量可以近似為：
α = -E_c (5)
Transmon 量子位元電容
為計算出自 (3) 的充電能量 Ec，我們需要決定 transmon 量子位元的電容 C。transmon 量子位元的電容使用靜電 (E-static) 求解器來計算。transmon 量子位元的尺寸如圖 4 所示。金屬化層 (metalization) 的厚度為 20 um。
使用靜電求解器，基於 500 um x 200 um 的墊片尺寸計算出電容值 C = 93.5 fF。將電容值代入方程式 (3) 中，我們得到充電能量 Ec = 207 MHz。實務上，約瑟夫森接面電感 Lj 通常介於 1 nH 到 20 nH 之間。在這個案例中，定義約瑟夫森接面電感 Lj = 10 nH。利用 (4)，Ej 為 16333 MHz。E_j/E_c 的比值大約為 78.87。利用 (5)，非諧性為 -207 MHz；因此，設計限制條件獲得滿足。
盒模態計算
實務上，transmon 量子位元晶片被放置在金屬盒內，以將其與環境雜訊隔離。最低盒模態 (box mode) 的腔體共振應大於 transmon 量子位元和共振器的共振，以防止能量在量子位元或共振器與金屬盒之間發生耦合。使用特徵模態求解器 (eigenmode solver) 或矩形導波管的解析公式 [2] 可以輕鬆獲得最低盒模態的腔體，該公式如下：
f_mnl = c_0/(2π√(ε_r )) √((mπ/a)^2+(nπ/b)^2+(lπ/c)^2 ) (6)
給定量子位元晶片的尺寸 (2758 um x 3000 um x 1500 um)，最低盒模態位於 73.82 GHz。由於最低盒模態頻率遠高於 transmon 量子位元和共振器的共振頻率，我們不需要擔心盒模態和量子位元之間的交互作用。此外，這允許我們為使用特徵模態求解器和頻域求解器的模擬選擇封閉邊界條件 (Et=0)。
Transmon 量子位元、共振器與饋線
為模擬 transmon 量子位元和共振器的頻率，此處使用了特徵模態求解器。約瑟夫森接面無法使用 3D 求解器進行模擬。為考慮約瑟夫森接面的效應，使用了一個電感值 Lj = 10 nH 的集總元件 (lumped element)，並連接在兩個導體墊片之間。讀出路徑 (readout path) 由一個共振器和一條饋線組成。兩者都是共平面導波管 (CPW)，訊號線寬度為 10 um，訊號線與接地平面之間的間隙為 6 um。這提供了 50 歐姆的特徵線路阻抗。
共振器設計是一個四分之一波長 (λ/4) 共振器。開路端 (open-end) 共振器以電容方式耦合到 transmon 量子位元，而另一端則短路接地 (GND)。這個短路端接著以電感方式耦合到饋線。因此，在這一端，電壓幾乎為零且電流最大。transmon 量子位元、共振器和饋線的完整模型如圖 5 所示。
在饋線的兩端，配置了導波管埠 (waveguide ports) 來將其終止。使用導波管埠，特徵模態求解器也可以計算出 Qext（外部品質因子）值。這個 Qext 值表示量子位元受到與外界隔離保護的程度。特徵模態求解器也提供 Qtotal（總品質因子），它包含了所有內部損耗。
利用量子位元的 Qtotal，我們可以估算量子位元的弛豫時間 (relaxation time) (T1)： T_1 = Q_total/f_q (7)
而利用共振器的 Qext，我們可以估算讀出時間 (Tr)。 T_r = Q_ext/f_r (8)
特徵模態求解器模擬結果
特徵模態求解器的頻率範圍為 4 GHz 到 8 GHz。它被配置為支援兩種計算模態。模態 1 和 2 的電場分佈如圖 6 和 7 所示。模態 1 的場分佈集中在 transmon 量子位元處，頻率為 5.18 GHz，而第二模態的頻率為 7.017 GHz。第二模態的場分佈集中在共振器上。來自模態 1 的 Qtotal 值大約為 1.27e6。這是一個很好的指標，顯示量子位元與饋線良好隔離且沒有與其耦合。如果我們在方程式 (7) 中考慮這個 Q 值，我們會得到 245.3 us 的能量弛豫時間。來自模態 2 的模擬 Qext 值為 15839。利用方程式 (8)，我們獲得了 2.25 us 的讀出時間。數百奈秒 (nanoseconds) 的讀取脈衝可用來讀出量子位元。這比量子位元的脫散時間 (decoherence time) 還要快。根據文獻 [1]，該時間大約為 50 us 到 200 us。
頻域求解器模擬
為了模擬約瑟夫森接面的電感變化，使用了頻域求解器 (frequency domain solver)。由於結構具有高 Q 值，強烈建議使用 FROM（快速降階模型，Fast Reduced Order Model）求解器。集總元件被離散面埠 (discrete face port) 所取代，且 fd-solver（頻域求解器）模擬執行所有埠定義以建立完整的 S 參數矩陣。此處使用了所謂的電磁-電路耦合模擬 (EM-circuit coupled simulation) 方法，其中電感器連接是在電路模擬器 CST Design Studio 中實作的。這種方法提供了更有效率的模擬，因為電路模擬的執行速度比完整的 3D 模擬更快。圖 8 顯示了 transmon 量子位元模型，其中定義了埠 3 來取代集總元件。在 CST Design Studio 中實現的對應電路原理圖連接如圖 9 所示。埠 1 和埠 2 以 50 歐姆終止，而埠 3 代表內部局部化的接面埠，以 1e-5 歐姆終止，表示電感器的寄生阻抗幾乎為零。
透過掃描 Lj 為 10 nH、11 nH 和 12 nH 的電感值，我們可以藉由觀察 S1,3 結果來獲得共振器處的頻率偏移。這三條曲線如圖 10 所示。
電感的變化會偏移共振器頻率，這種現象稱為交叉克爾 (Cross-Kerr, χ) 效應。2χ 類似於半高寬 (full width at half maximum, FWHM)，即 Δf。Δf 可以從處於最大值時的 S1,3 曲線讀取，大約是 500 kHz 到 700 kHz。交叉克爾 (χ) 由以下方程式給出：
χ ≈ g^2/∆ (α/(∆+α)) (9)
失諧 (detuning, ∆) 定義為 transmon 量子位元（模態 1）與共振器（模態 2）之間的共振頻率差，其給出如下：
∆ = f_resonator – f_qubit (10)
使用 700 kHz 的 Δf，可以從 (9) 計算出耦合強度 g 約為 72.8 MHz。小於失諧 (∆) 的耦合強度是一個不錯的選擇，因為它可以提供良好的讀出。另一種計算交叉克爾的替代方案是使用能量參與率 (energy participation ratio, EPR)，如文獻 [3] 所述。
結論
使用 3D 電磁模擬工具有助於工程師加速並精確設計 transmon 量子位元、共振器與饋線。靜電 (Estatic) 求解器用於計算 transmon 量子位元的電容。特徵模態求解器對於 transmon 量子位元與共振器的模態頻率計算很有用，而頻域求解器透過掃描約瑟夫森接面電感 Lj，對於模擬交叉克爾 (χ) 效應則非常有效率。此外，本篇部落格文章展示了使用模擬工具來設計量子位元讀出軟性印刷電路板 (flex PCB) 的好處，該 PCB 將訊號從量子位元晶片傳輸至主電腦。
參考文獻
[1] Hiu Yung Wong, Quantum Computing Architecture and Hardware for Engineers
[2] David M. Pozar, Microwave Engineering
[3] Quantum Metall (https://qiskit-community.github.io/qiskit-metal/)
[4] CST Studio Suite® 2026 Online Help
文章轉載來自：Designing a Superconducting Transmon Qubit Circuit using 3D EM Simulation